There are only 10 types of people in the world: Those who understand binary and those who don't

Das binäre Zahlensystem

Overview

Computer denken und sprechen binär. Das werdet ihr vor allem bei der IP Adressierung und Netzplanung merken.
Daher gibt es von mir für euch ein extra Beitrag, in dem ich euch alles über das Binäre Zahlensystem zeigen werde.

Nach dem Beitrag seid ihr in der Lage zu erklären:

  • was das binäre Zahlensystem ist.
  • wie binäre Zahlen zu verstehen sind.
  • wie von einer Dezimalzahl zu einer Binärzahl konvertiert werden kann.
  • wie von einer Binärzahl zu einer Dezimalzahl konvertiert werden kann.

 

Das binäre Zahlensystem

Bevor wir mit IP Adressen spielen, möchte ich euch einen kleinen Exkurs zu binärer und dezimaler Schreibweise geben. Das binäre Zahlensystem kennt nur zwei Werte. Die 1 und die 0. Das ist nüchtern betrachtet das, was ein Computer versteht und verwendet. Informationen werden durch eine ewige Kette von 0en und 1en durch das Netzwerk gesendet. Ein einzelner Wert wird als „Bit“ bezeichnet. Ich möchte euch zu Beginn ein kleines Beispiel geben.

Im Folgenden wird eine 8 Bit lange binäre Zahl in eine Dezimalzahl konvertiert:
Binäre Zahl:      1  1  1  1 1 1 1 1
Dezimaler Wert: 128 64 32 16 8 4 2 1 (128+64+32+16+8+4+2+1=255)

Das rechte Bit ist das least significant Bit, also das Bit mit dem niedrigsten Wert. Es präsentiert den Wert 20 (also 1). Das links nebenstehende Bit präsentiert den Wert 21. Das geht so lange, bis das linke Bit den Wert 27 (most significant bit) darstellt. Das binäre Zahlensystem arbeitet auf der Basis von 2, daher auch der Name „binär“ (von lat. bini, für „je zwei. -Quelle: Wikipedia.org).

Da in dem oberen Beispiel alle Bits auf 1 gestellt sind, werden alle Werte der Positionen addiert. Der dezimale Wert ist somit 255.
Hier die Funktionsweise des binären Systems anhand der Zahlen 255 und 141 nochmals im Detail:

Binäre Zahlensystem

Weitere Beispiele – Konvertieren binär zu dezimal:

Binäre Zahl:      0   1   1   0  1  1  1  0
Dezimaler Wert: 128  64  32  16  8  4  2  1 (0+64+32+0+8+4+2+0=110)

Binäre Zahl:      1   1   1   0  0  0  0  1
Dezimaler Wert: 128  64  32  16  8  4  2  1 (128+64+32+0+0+0+0+1=225)

Binäre Zahl:      0   0   0   1  1  0  0  0
Dezimaler Wert: 128  64  32  16  8  4  2  1 (0+0+0+16+8+0+0+0=24)

Ihr habt gesehen, wie eine binäre Zahl in eine dezimale Zahl konvertiert werden kann.
Aber wie kann eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umgewandelt werden?

Darstellung einer IP-Adresse:

Dezimal: 192.168.10.1
Binär:  11000000.10101000.00001010.00000001

Eine IP Adresse ist 4 Oktetts lang. Ein Oktett ist eine Folge von 8 Bits.
Das heißt das Bit mit dem größten Wert präsentiert eine 128. Das Bit mit dem niedrigsten Wert, präsentiert eine dezimale 1. Stellt man eine IP-Adresse binär dar, ist das linke Bit das most significant bit (Bit mit dem höchsten Wert, also 128) und das rechte Bit das least significant bit (Bit mit dem niedrigsten Wert, also 1):

Binäre Zahl:       1   1   1   1  1  1  1  1
Dezimaler Wert:  128  64  32  16  8  4  2  1

Dezimal zu binär konvertieren

Nehmen wir als Beispiel die Zahl 145. Jedes Oktett kann dezimale Zahlen zwischen 0-255 darstellen. Daher wird hier bewusst ein Beispiel aus diesem Spektrum gewählt.
Die 145 werden wir in eine binäre Zahl umwandeln.

 

Wir gehen dazu von links nach rechts in der binären Zahl vor und fragen uns: „Passt die 128 in die 145?“ – JA.
Also ist das erste Bit unserer Binärzahl eine 1.
Nun muss die 128 von der 148 subtrahiert werden.
Es bleibt ein Restwert von 20.

Binäre Zahl: 1 x x x x x x x

2. Frage: „Passt die 64 in die 20?“ – NEIN.
Also ist das 2. Bit unserer Binärzahl eine 0.

Binäre Zahl: 1 0 x x x x x x

3. Frage: „Passt die 32 in die 20?“ – NEIN.
Also wieder eine 0.

Binäre Zahl: 1 0 0 x x x x x

4. Frage: „Passt die 16 in die 20?“ – JA.

An der Position steht also eine 1.

Es werden also wieder 16 von 20 abgezogen. Das ergibt 4.
Binäre Zahl: 1 0 0 1 x x x x

5. Frage: „Passt die 8 in die 4?“ – NEIN.
Also eine 0 an dieser Stelle.
Binäre Zahl: 1 0 0 1 0 x x x

6. Frage: „Passt die 4 in die 4?“ – JA.
Also steht an dieser Stelle eine 1.

Binäre Zahl: 1 0 0 1 0 1 x x
Der Rest ergibt jetzt jedoch 0. Jetzt müssen nur noch die restlichen Bits auf 0 gesetzt werden, und die Dezimalzahl ist vollständig in eine Binärzahl konvertiert.
Das Ergebnis lautet also:

Binäre Zahl: 1 0 0 1 0 1 0 0

 

Kompaktansicht zur Zahl 145

Dezimal zu Binär konvertieren

 

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Danke fürs Lesen,

euer Daniel

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